> ## Content Index > Fetch the complete content index at: https://guahouane.com/llms.txt > Use this file to discover other available public pages before exploring further. # Arithmetique dans N : Cours - URL: https://guahouane.com/arithmetique-dans-n-cours/ - Published: 2026-09-20T23:20:31.000Z - Updated: 2026-09-21T14:48:25.000Z - Author: Gu. Abdessamiä - Tags: TCS : COURS ## Ensemble ℕ - Nombres pairs & impairs ### Ensemble des entiers naturels : ℕ - Les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; … forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels et noté ℕ. On écrit : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …}. - L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté ℕ\*. - Les nombres : 10 ; 230 ; 2024 sont des entiers naturels. On écrit par exemple : 10 ∈ ℕ et on lit : « 10 appartient à ℕ » ou encore « 10 est un élément de ℕ ». - Les nombres : -1 ; ½ ; √3 ne sont pas des entiers naturels. On écrit par exemple : -1 ∉ ℕ et on lit : « -1 n'appartient pas à ℕ » ou encore « -1 n'est pas un élément de ℕ ». ### Nombres pairs & Nombres impairs Soit *a* un entier naturel. - On dit que *a* est un nombre pair s'il est multiple du nombre 2\. Autrement dit, il existe un entier naturel *k* tel que : *a* \= 2*k*. - On dit que *a* est un nombre impair s'il n'est pas pair. Autrement dit, il existe un entier naturel *k* tel que : *a* \= 2*k* \+ 1. - Les nombres : 0 ; 2 ; 64 ; 12128 sont des nombres pairs. - Les nombres : 3 ; 15 ; 469 ; 2027 sont des nombres impairs. - Montrons que le nombre *n*(*n* \+ 1) est pair, avec *n* ∈ ℕ : Soit *n* un entier naturel non nul. - Si *n* est pair : alors *n* \= 2*k* (*k* ∈ ℕ) donc *n* \+ 1 = 2*k* \+ 1 (*k* ∈ ℕ) Donc : \\\[ \\begin{aligned} n(n+1) &= 2k(2k+1) \\\\ &= 2(2k^2 + k) \\\\ &= 2k' \\quad \\text{avec } (k' = 2k^2 + k \\in \\mathbb{N}) \\end{aligned} \\\] - Si *n* est impair : alors *n* \= 2*k* \+ 1 (*k* ∈ ℕ) donc *n* \+ 1 = 2*k* \+ 1 + 1 = 2*k* \+ 2 = 2(*k* \+ 1) (*k* ∈ ℕ) Donc : \\\[ \\begin{aligned} n(n+1) &= (2k+1) \\cdot 2(k+1) \\\\ &= 2 \\times ((2k+1) \\cdot (k+1)) \\\\ &= 2 \\times (2k^2 + 3k + 1) \\\\ &= 2k'' \\quad \\text{avec } (k'' = 2k^2 + 3k + 1 \\in \\mathbb{N}) \\end{aligned} \\\] D'où le résultat. - Un entier naturel est soit pair soit impair. - Un entier naturel est pair si son chiffre des unités est pair. - Un entier naturel est impair si son chiffre des unités est impair. - Déterminer la parité d'un entier naturel, c'est savoir si cet entier est pair ou impair. ### Opérations sur les nombres pairs et impairs Soit *a* et *b* deux entiers naturels tels que : *a* ≥ *b*. Alors : | Parité de *a* | Parité de *b* | Parité de *a* ± *b* | Parité de *ab* | | ------------- | ------------- | ------------------- | -------------- | | Pair | Pair | Pair | Pair | | Pair | Impair | Impair | Pair | | Impair | Pair | Impair | Pair | | Impair | Impair | Pair | Impair | 1. Étudier la parité des nombres suivants : 29 \+ 69 ; 173 \- 53 ; 351 × 208 ; 37013 × 1375 2. Soit *n* ∈ ℕ, étudier la parité des nombres suivants : - *a* \= 2*n*2 \+ 13 - *b* \= *n*3 \- *n* - *c* \= (2*n* \+ 1)7 - *d* \= *n*2 \+ 3*n* \+ 1 ## Multiples d'un entier naturel Soit *a* et *b* deux entiers naturels. On dit que *b* est un multiple de *a* s'il existe un entier naturel *k* tel que : *b* \= *ak*. - 84 est un multiple de 12 car : 84 = 12 × 7. - 23 n'est pas un multiple de 6 car il n'existe aucun entier naturel *k* tel que : 23 = 6*k*. - 0 est un multiple de tout entier naturel. - Tout entier naturel est un multiple de 1. Soit *a*, *b* et *c* des entiers naturels. - Si les nombres *b* et *c* sont des multiples de *a*, alors *b* \+ *c* et *b* \- *c* (avec *b* ≥ *c*) sont aussi des multiples de *a* ; - Si *b* est un multiple de *a*, alors *bc* est un multiple de *a* ; - Si *b* est un multiple de *a* et *c* est un multiple de *b*, alors *c* est un multiple de *a*. - 33 et 12 sont des multiples de 3, alors : 33 + 12 = 45 est un multiple de 3 (nous avons : 45 = 3 × 15). - 24 est un multiple de 8, et 8 est un multiple de 4, alors 24 est aussi un multiple de 4. Montrer que si *x* et *y* sont des multiples de *z*, alors 3*x* \+ 5*y* est un multiple de *z*. ## Diviseurs d’un entier naturel Soit *a* et *b* deux entiers naturels. On dit que *a* est un **diviseur** de *b*, ou que ***b* est divisible** par *a*, ou encore que ***a* divise *b***, si *b* est un multiple de *a*. On note alors : *a* | *b*. **Autrement dit** : il existe un entier naturel *k* tel que : *b* \= *ak*. - 5 est un diviseur de 35 car : 35 = 5 × 7. - 40 n'est pas divisible par 7. - 1 est un diviseur de tout entier naturel. - Tout entier naturel est un diviseur de 0. - Tout entier naturel est un diviseur de lui-même. Déterminer les diviseurs de 46. Soit *a*, *b* et *c* des entiers naturels. - Si *a* est un diviseur des nombres *b* et *c*, alors *a* est un diviseur de *b* \+ *c* et *b* \- *c* (avec *b* ≥ *c*). - Si *a* est un diviseur du nombre *b*, alors *a* est un diviseur de *bc*. - Si *a* est un diviseur de *b* et *b* est un diviseur de *c*, alors *a* est un diviseur de *c*. - On a 3 est un diviseur de 12 et 9, donc 3 est un diviseur de 12 + 9 = 21 et 12 - 9 = 3. - On a 3 est un diviseur de 12, donc 3 est un diviseur de 12 × 9 = 108. - On a 3 est un diviseur de 12 et 12 est un diviseur de 36, donc 3 est un diviseur de 36. Si *a* divise *b* \+ *c* et *b* \- *c*, a-t-on (*a* divise *b* et *c*) ? ## Quelques critères de divisibilité Soit *a* un entier naturel. - *a* est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair. - *a* est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - *a* est divisible par 4 si le nombre formé par le chiffre des unités et le chiffre des dizaines est divisible par 4. - *a* est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. - *a* est divisible par 6 s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par 3. - *a* est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. - *a* est divisible par 25 si le nombre formé par le chiffre des unités et le chiffre des dizaines est divisible par 25. Étudier la divisibilité du nombre 3611790 par : 2, 3, 4, 5, 9. Parmi les nombres suivants : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 2020, 2025, 2030, déterminer ceux qui possèdent chacun **exactement deux diviseurs** 1 et lui-même. ## Nombres premiers On dit qu'un entier naturel *p* est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs : 1 et *p*. - 13 est premier car il possède exactement deux diviseurs : 1 et 13. - 15 n'est pas premier car il possède plus de deux diviseurs : 1 ; 3 ; 5 ; 15. - 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur qui est 1 lui-même. **Crible d'Ératosthène** C'est un procédé permettant de déterminer les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N. Les nombres dans les cases grisées sont des nombres premiers. Pour remplir ce tableau, on procède par élimination : - On élimine le 1 ; - On garde 2 et on élimine tous les multiples de 2 ; - On garde 3 et on élimine tous les multiples de 3 ; - ... etc. ![](https://guahouane.com/content/images/2026/09/crible.png) Crible d'Ératosthène ### Comment reconnaître un nombre premier (test de primalité) Pour qu'un nombre *a* soit premier, il faut et il suffit que tous les nombres premiers *p* tels que *p* ≤ √*a*, ne divisent pas *a*. Montrons que 97 est premier : On a : √97 ≈ 9,85\. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à √97 sont : 2, 3, 5, 7. Vérifions si 97 est divisible par l'un de ces nombres premiers : - 97 = 48 × 2 + 1, donc 97 n'est pas divisible par 2. - 97 = 32 × 3 + 1, donc 97 n'est pas divisible par 3. - 97 = 19 × 5 + 2, donc 97 n'est pas divisible par 5. - 97 = 13 × 7 + 6, donc 97 n'est pas divisible par 7. Puisque 97 n'est divisible par aucun de ces nombres premiers, nous concluons que 97 est un nombre premier. Montrer que 93 n'est pas premier. On a : √93 ≈ 9,64\. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à √93 sont : 2, 3, 5, 7. Vérifions si 93 est divisible par l'un de ces nombres premiers : - 93 = 46 × 2 + 1, donc 93 n'est pas divisible par 2. - 93 = 31 × 3 + 0, donc 93 est divisible par 3. Puisque 93 est divisible par 3, nous concluons que 93 n'est pas un nombre premier. Exprimer le nombre 60 sous forme de produit de facteurs premiers uniquement. - Si un nombre est supérieur à 1 et n'est pas premier, on dit qu'il est composé. - Décomposer un nombre consiste à l'exprimer exclusivement sous forme de produit de facteurs premiers. ## Décomposition en produit de facteurs premiers Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique comme produit de facteurs premiers. On considère les nombres : *a* \= 120 et *b* \= 220. - La décomposition de *a* en produit de facteurs premiers : *a* \= 120 = 12 × 10 = 3 × 4 × 2 × 5 = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 Donc : **120 = 23 × 31 × 51** - Pour la décomposition de 220, nous allons utiliser une méthode pratique, on a : | 220 | 2 | | --- | -- | | 110 | 2 | | 55 | 5 | | 11 | 11 | | 1 | | Alors : **220 = 22 × 51 × 111** Décomposer 80 en produit de facteurs premiers. 1. Déterminer les cinq premiers multiples du nombre 12. 2. Déterminer les cinq premiers multiples du nombre 18. 3. Que représente le nombre 36 pour les nombres 12 et 18 ? ## Plus petit commun multiple de deux entiers naturels Soit *a* et *b* deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple des nombres *a* et *b* est le plus petit des multiples non nuls communs aux nombres *a* et *b*. On le note : ***a* ∨ *b*** ou **ppcm(*a* ; *b*)** ou **M(*a*, *b*)**. - ḟ4 \= {0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 …} - ḟ6 \= {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 …} - Les multiples communs des nombres 4 et 6 sont : 0 ; 12 ; 24 ; 36 … Le plus petit multiple commun non nul des nombres 4 et 6 est : 12. Par suite : **4 ∨ 6 = 12**. Soit *a* et *b* deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. Le plus petit commun multiple de *a* et *b* est le produit des facteurs premiers **communs et non communs** aux deux nombres, élevés à la plus grande puissance dans la décomposition des nombres *a* et *b*. On considère les nombres suivants : *a* \= 4 et *b* \= 6. La décomposition des nombres *a* et *b* en produit de facteurs premiers : *a* \= 4 = 22 et *b* \= 6 = 2 × 3 Par conséquent : ***a* ∨ *b* \= 22 × 3 = 12**. Déterminer : ppcm(15, 25) 1. Déterminer les diviseurs du nombre 12. 2. Déterminer les diviseurs du nombre 18. 3. Que représente le nombre 6 pour les nombres 12 et 18 ? ## Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels Soit *a* et *b* deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur des nombres *a* et *b* est le plus grand des entiers naturels qui divisent les nombres *a* et *b* simultanément. On le note : ***a* ∧ *b*** ou **pgcd(*a* ; *b*)** ou **Δ(*a*, *b*)**. - 𝔅36 \= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36} - 𝔅48 \= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48} - Les diviseurs communs des nombres 36 et 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Le plus grand diviseur commun des nombres 36 et 48 est 12. Par suite : **36 ∧ 48 = 12**. Soit *a* et *b* deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. Le plus grand commun diviseur de *a* et *b* est le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres (s'il y en a), élevés à la plus petite puissance dans la décomposition des nombres *a* et *b*. On considère les nombres suivants : *a* \= 36 et *b* \= 48. La décomposition des nombres *a* et *b* en produit de facteurs premiers : *a* \= 36 = 22 × 32 *b* \= 48 = 24 × 3 Par conséquent : ***a* ∧ *b* \= 22 × 3 = 12**. - Si *a* est un diviseur de *b*, alors : ***a* ∧ *b* \= *a*** et ***a* ∨ *b* \= *b***. - Pour tout entier naturel non nul *a* : - *a* ∧ 1 = 1 - *a* ∨ 1 = *a* - *a* ∧ *a* \= *a* ∨ *a* \= *a* - Lorsque ***a* ∧ *b* \= 1**, on dit que les entiers naturels *a* et *b* sont **premiers entre eux**. Déterminer : 126 ∧ 136 et pgcd(*n* ; *n* \+ 1), où *n* est un entier naturel. **Algorithme d'Euclide pour déterminer le pgcd** Pour des raisons de simplification, nous allons illustrer cet algorithme à l'aide de l'exemple suivant : Déterminons le PGCD de 126 et 136. On commence l'algorithme en effectuant la division euclidienne de 136 par 126, puis on divise 126 par le reste obtenu. Ce processus se répète jusqu'à ce qu'un reste nul soit atteint. Le PGCD est le **dernier reste non nul**. On a : 136 = 126 × 1 + 10 126 = 10 × 12 + 6 10 = 6 × 1 + 4 6 = 4 × 1 + 2 4 = 2 × 2 + 0 Le dernier reste non nul est 2, donc : **126 ∧ 136 = 2**.