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# Continuité d'une fonction numérique
- URL: https://guahouane.com/continuite-dune-fonction-numerique/
- Published: 2026-10-04T12:21:23.000Z
- Updated: 2026-10-04T17:43:44.000Z
- Author: Gu. Abdessamiä

## Continuité d'une fonction numérique

### Continuité en un point

#### Définition

Soit *f* une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert *I* et *x*0 un élément de *I*.

On dit que la fonction *f* est continue au point *x*0 si : **lim;*x* → *x*0 *f*(*x*) = *f*(*x*0)**

![](https://guahouane.com/content/images/2026/09/continuitePoint.jpeg)

- La fonction est continue en **1**
- La fonction n'est pas continue (discontinue) en **1**

#### Exemple

- Soit \\(g\\) la fonction numérique définie sur \\(\\mathbb{R}\\) par :  
\\\[g(x) = \\begin{cases} \\dfrac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x - 3} & \\text{si } x \\neq 3 \\\\ 0 & \\text{si } x = 3 \\end{cases}\\\]  
Montrons que la fonction \\(g\\) est continue au point \\(x\_0 = 3\\) :  
Nous devons prouver que \\(\\lim\_{x \\to 3} g(x) = g(3)\\).  
Calculons d'abord la limite :  
\\\[\\lim\_{x \\to 3} g(x) = \\lim\_{x \\to 3} \\frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x - 3}\\\]  
En factorisant le numérateur :  
\\\[\\lim\_{x \\to 3} g(x) = \\lim\_{x \\to 3} \\frac{(x - 3)(x^2 - 5x + 6)}{x - 3}\\\]  
Nous pouvons simplifier en annulant le facteur \\((x - 3)\\) au numérateur et au dénominateur (car \\(x \\neq 3\\)) :  
\\\[\\lim\_{x \\to 3} g(x) = \\lim\_{x \\to 3} (x^2 - 5x + 6)\\\]  
Maintenant, en évaluant la limite pour \\(x = 3\\), nous obtenons :  
\\\[\\lim\_{x \\to 3} g(x) = 3^2 - 5 \\times 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\\\]  
D'où : \\(\\lim\_{x \\to 3} g(x) = 0\\).  
Maintenant, évaluons la valeur de \\(g\\) au point \\(x = 3\\) :  
\\\[g(3) = 0\\\]  
Nous constatons que la limite de \\(g\\) en \\(x = 3\\) est \\(0\\) et que \\(g(3) = 0\\).  
Puisque la limite et la valeur de la fonction au point sont égales, la fonction \\(g\\) est continue au point \\(x\_0 = 3\\).
- Soit \\(h\\) la fonction numérique définie sur \\(\\mathbb{R}\_+^\*\\) par :  
\\\[h(x) = \\begin{cases} \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 1} - \\sqrt{2x}}{x - \\sqrt{x}} & \\text{si } x \\neq 1 \\\\ k & \\text{si } x = 1 \\quad (k \\in \\mathbb{R}) \\end{cases}\\\]  
Déterminons la valeur de \\(k\\) pour que la fonction \\(h\\) soit continue en \\(x = 1\\) :  
Soit \\(x\\) un élément de l'intervalle \\(\]0 ; +\\infty\[\\) distinct de \\(1\\).  
On a :  
\\\[h(x) = \\frac{(\\sqrt{x^2 + 1} - \\sqrt{2x})(\\sqrt{x^2 + 1} + \\sqrt{2x})(x + \\sqrt{x})}{(\\sqrt{x^2 + 1} + \\sqrt{2x})(x - \\sqrt{x})(x + \\sqrt{x})}\\\] \\\[= \\frac{(x^2 + 1 - 2x)(x + \\sqrt{x})}{(\\sqrt{x^2 + 1} + \\sqrt{2x})(x^2 - x)}\\\]  
Par conséquent :  
\\\[h(x) = \\frac{(x - 1)(x + \\sqrt{x})}{x(\\sqrt{x^2 + 1} + \\sqrt{2x})}\\\]  
Il s'ensuit donc que :  
\\\[\\lim\_{x \\to 1} h(x) = \\lim\_{x \\to 1} \\frac{(x - 1)(x + \\sqrt{x})}{x(\\sqrt{x^2 + 1} + \\sqrt{2x})} = \\frac{0 \\times (1 + 1)}{1 \\times (\\sqrt{2} + \\sqrt{2})} = \\frac{0}{2\\sqrt{2}} = 0\\\]  
Pour que la fonction \\(h\\) soit continue en \\(x = 1\\), il faut et il suffit que \\(\\lim\_{x \\to 1} h(x) = h(1)\\), c'est-à-dire : \\(k = 0\\).

### Continuité à droite - Continuité à gauche

#### Définition

- Soit \\(f\\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \\(\[x\_0,x\_0+\\alpha\[\\) où \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\_+^\*\\). On dit que \\(f\\) est continue à droite en \\(x\_0\\) si : \\\[ \\lim\_{x\\to x\_0^+} f(x)=f(x\_0) \\\]
- Soit \\(f\\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \\(\]x\_0-\\alpha,x\_0\]\\) où \\(\\alpha\\in\\mathbb{R}\_+^\*\\). On dit que \\(f\\) est continue à gauche en \\(x\_0\\) si : \\\[ \\lim\_{x\\to x\_0^-} f(x)=f(x\_0) \\\]

#### Propriété

Une fonction numérique \\(f\\) est continue au point \\(x\_0\\) si, et seulement si, elle est continue à droite et à gauche au point \\(x\_0\\). 

En d'autres termes :

$$ \\bigl(f\\text{ est continue au point }x\_0\\bigr) \\iff \\lim\_{x\\to x\_0^-}f(x) = \\lim\_{x\\to x\_0^+}f(x) = f(x\_0) $$ 

#### Exemple

- Soit *f* définie sur ℝ par : \\\[ f(x)= \\begin{cases} x^2 & \\text{si } x\\leq 0,\\\\ 2+x & \\text{si } x>0\. \\end{cases} \\\]  
Étudions la continuité de *f* en *x*0 \= 0\. On a :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^-}f(x) = \\lim\_{x\\to 0^-}x^2 = 0 = f(0). \\\]  
Donc *f* est continue à gauche en *x*0 \= 0\. Et on a :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^+}f(x) = \\lim\_{x\\to 0^+}(2+x) = 2 \\neq f(0). \\\]  
Donc *f* n'est pas continue à droite en 0\.  
Puisque :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^+}f(x) \\neq \\lim\_{x\\to 0^-}f(x), \\\]  
alors *f* est **discontinue en 0**.
- Soit *g* la fonction numérique définie par : \\\[ g(x)= \\begin{cases} 3x & \\text{si } x\\leq 1,\\\\ \\dfrac{x^2-4}{x-2} & \\text{si } x>1\. \\end{cases} \\\]  
Étudions la continuité à droite et à gauche de la fonction *g*au point *x*0 \= 1\.  
On a *g*(1) = 3 et de plus :  
\\\[ \\lim\_{\\substack{x\\to 1\\\\x>1}}g(x) = \\lim\_{\\substack{x\\to 1\\\\x>1}} \\frac{x^2-4}{x-2} = 3 = g(1). \\\]  
Donc *g* est continue à droite en 1\.  
De même :  
\\\[ \\lim\_{\\substack{x\\to 1\\\\x<1}}g(x) = \\lim\_{\\substack{x\\to 1\\\\x<1}}(3x) = 3 = g(1). \\\]  
Donc *g* est continue à gauche en 1\.  

**Conclusion :** *g* est continue à droite et à gauche en 1, donc *g* est continue en 1\.
- Soit *f* la fonction numérique définie sur ℝ par : \\\[ f(x)= \\begin{cases} \\dfrac{\\sqrt{x+4}-2}{x} & \\text{si } x>0,\\\\ \\dfrac{\\cos x+\\sin x-1}{4x} & \\text{si } x<0,\\\\ \\dfrac{1}{4} & \\text{si } x=0\. \\end{cases} \\\]  
Montrons que la fonction *f* est continue en 0\.  

**Continuité à droite en 0 .** On a :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^+}f(x) = \\lim\_{x\\to 0^+} \\frac{\\sqrt{x+4}-2}{x} = \\lim\_{x\\to 0^+} \\frac{(\\sqrt{x+4}-2)(\\sqrt{x+4}+2)} {x(\\sqrt{x+4}+2)} = \\lim\_{x\\to 0^+} \\frac{x}{x(\\sqrt{x+4}+2)}. \\\]  
Donc :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^+}f(x) = \\lim\_{x\\to 0^+} \\frac{1}{\\sqrt{x+4}+2} = \\frac{1}{4}. \\\]  
Puisque \\(\\lim\_{x\\to 0^+}f(x)=f(0)\\), alors la fonction *f* est continue à droite en 0\.  

**Continuité à gauche en 0.** On a :  
\\\[ \\lim\_{x\\to 0^-}f(x) = \\lim\_{x\\to 0^-} \\frac{\\cos x+\\sin x-1}{4x} = \\lim\_{x\\to 0^-} \\left( \\frac{\\sin x}{4x} - \\frac{1-\\cos x}{4x} \\right) \\\] \\\[ = \\lim\_{x\\to 0^-} \\left( \\frac{1}{4}\\frac{\\sin x}{x} - \\frac{1-\\cos x}{x^2}\\frac{x}{4} \\right). \\\] \\\[ \\lim\_{x\\to 0^-}f(x) = \\frac{1}{4}\\times 1 - \\frac{1}{2}\\times\\frac{0}{4} = \\frac{1}{4}. \\\]  
Puisque \\(\\lim\_{x\\to 0^-}f(x)=f(0)\\), alors *f* est continue à gauche en 0\.  
Puisque la fonction *f* est continue à droite et à gauche en 0, alors elle est **continue en ce point**.

#### Application

Soit *f* et *g* deux fonctions définies par : 

$$ f(x)= \\begin{cases} \\dfrac{x^2-9}{x-3} & \\text{si } x\\neq 3,\\\\ 6 & \\text{si } x=3, \\end{cases} \\qquad g(x)= \\begin{cases} \\dfrac{\\sqrt{x}-1}{x-1} & \\text{si } x\\neq 1,\\\\ 3 & \\text{si } x=1\. \\end{cases} $$ 
1. Montrer que la fonction *f* est continue en 3\.
2. Est-ce que la fonction *g* est continue en 1 ? Justifier la réponse.

#### Application

Soit *g* la fonction définie par : 

$$ g(x)= \\begin{cases} \\dfrac{\\sqrt{x+2}-2}{x-2} & \\text{si } x>2,\\\\ \\dfrac{x^2-4x+3}{x-3} & \\text{si } x\\leq 2\. \\end{cases} $$ 
1. Calculer *g*(2).
2. Étudier la continuité de *g* au point *x*0 \= 2\.

### Continuité d'une fonction sur un intervalle

#### Définition

- Une fonction *f* est continue sur un intervalle ouvert *I*si elle est continue en tout point de *I*. En particulier, *f* est continue sur \]*a* ; *b*\[ si elle est continue en tout point de \]*a* ; *b*\[.
- Une fonction *f* est continue sur \[*a* ; *b*\] si elle est continue sur \]*a* ; *b*\[ et continue à droite en *a* et à gauche en *b*.
- Une fonction *f* est continue sur \[*a* ; *b*\[ si elle est continue sur \]*a* ; *b*\[ et continue à droite en *a*.
- Une fonction *f* est continue sur \]*a* ; *b*\] si elle est continue sur \]*a* ; *b*\[ et continue à gauche en *b*.

#### Remarque

Intuitivement, dire que la fonction numérique *f* est continue signifie qu'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. 

#### Exemple

- Toute fonction constante est continue sur ℝ.
- Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.
- Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
- La fonction *x* ↦ √*x* est continue sur ℝ+.
- Les fonctions *x* ↦ sin(*x*) et *x* ↦ cos(*x*) sont continues sur ℝ.
- La fonction *x* ↦ tan(*x*) est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

### Fonction partie entière \\(E(x)\\)

#### Définition

Soit *x* un nombre réel et *n* un entier relatif. 

La partie entière de *x* est le plus grand entier relatif *n* qui est inférieur ou égal à *x*. On la note : *E*(*x*). 

**Autrement dit :** *E*(*x*) = *n*, c'est-à-dire *n* ≤ *x* < *n* \+ 1\. 

#### Exemple

- *E*(4,2) = 4
- *E*(−3,75) = −4
- *E*(√3) = 1
- \\(E\\left(-\\dfrac{9}{4}\\right)=-3\\)
- *E*(π) = 3
- *E*(−0,1457) = −1
- \\(E(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})=3\\)
- *E*(−1) = −1
- *E*(0) = 0
- \\(E\\left(\\dfrac{7}{2}\\right)=3\\)

#### Courbe de la fonction E(x)

![](https://guahouane.com/content/images/2026/10/partieentiere1.jpeg)

Courbe de la fonction E(x)

#### Propriété

1. Pour tout *x* ∈ ℝ : *E*(*x*) ≤ *x* < *E*(*x*) + 1 et *x* − 1 < *E*(*x*) ≤ *x*.
2. Pour tout *x* ∈ ℝ : *E*(*x*) = *x* ⇔ *x* ∈ ℤ.
3. Pour tout *x* ∈ ℝ et pour tout *p* ∈ ℤ : *E*(*x* \+ *p*) = *E*(*x*) + *p*.
4. Pour tout *n* ∈ ℤ, la fonction partie entière est continue à droite en *n*et discontinue à gauche en *n*.
5. La fonction partie entière est continue sur tout intervalle du type \[*n* ; *n* \+ 1\[ où *n* ∈ ℤ.
6. La fonction partie entière n'est pas continue sur ℝ.

### Opérations sur les fonctions continues

#### Propriété

Soient *f* et *g* deux fonctions continues sur un intervalle *I* et *k* un nombre réel. On a : 

- Les fonctions *f* \+ *g*, *k* · *f* et *f* · *g* sont continues sur *I*.
- Pour tout *n* ∈ ℕ\*, la fonction *f*n : *x* ↦ (*f*(*x*))nest continue sur *I*.
- Si la fonction *g* ne s'annule pas sur *I*, alors 1/*g* et *f*/*g* sont continues sur *I*.
- La fonction |*f*| est continue sur *I*.
- Si la fonction *f* est positive sur *I*, alors √*f* est continue sur *I*.

#### Exemple

- Soit la fonction *g* définie par *g*(*x*) = *x*3 − 2*x*2 \+ sin(*x*).  
Montrons que la fonction *g* est continue sur ℝ.  
La fonction *x* ↦ *x*3 − 2*x*2 est une fonction polynôme, et les fonctions polynômes sont des fonctions continues sur ℝ. De plus, la fonction *x* ↦ sin(*x*) est une fonction trigonométrique continue sur ℝ.  
Puisque la somme de deux fonctions continues est également continue, alors la fonction *g*(*x*) = *x*3 − 2*x*2 \+ sin(*x*) est continue sur ℝ.
- La fonction *g* définie par *g*(*x*) = √*x*(*x*2 \+ 4*x* − 5) est continue sur ℝ+ en tant que produit de deux fonctions continues sur ℝ\+ , qui sont *x* ↦ √*x* et *x* ↦ *x*2 \+ 4*x* − 5\.
- On considère la fonction *f* définie par :  
\\\[ f(x)=\\frac{x^3-4x^2+5}{3|x-2|+1}. \\\]  
Étudions la continuité de *f* sur son ensemble de définition *D*f.  
Puisque 3|*x* − 2| + 1 > 0 pour tout *x* ∈ ℝ, on a *D*f \= ℝ.  
Soient *p* et *q* les deux fonctions définies sur ℝ par : *p*(*x*) = *x*3 − 4*x*2 \+ 5 et *q*(*x*) = 3|*x* − 2| + 1\.  
La fonction *p* est continue sur ℝ car c'est une fonction polynôme.  
La fonction *q* est continue sur ℝ en tant que somme de deux fonctions continues sur ℝ.  
De plus, la fonction *q* ne s'annule pas sur ℝ. Par suite, la fonction *f* est continue sur ℝ en tant que quotient de deux fonctions continues, dont le dénominateur ne s'annule pas.
- On considère la fonction numérique définie sur ℝ par :  
\\\[ f(x)= \\begin{cases} x^2+2x-\\dfrac{5}{2}, & x\\leq -3,\\\\\[4pt\] \\dfrac{\\sqrt{2x+10}-2}{x+3}, & x>-3\. \\end{cases} \\\]  
Montrons que la fonction *f* est continue sur ℝ.  

**— Continuité de la fonction *f* au point *x*0 \= −3 :**  
On a : *f*(−3) = (−3)2 \+ 2(−3) − 5/2 = 1/2\.  
Calculons maintenant les limites à gauche et à droite en −3 :  
\\\[ \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x<-3}}f(x) = \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x<-3}} \\left(x^2+2x-\\frac52\\right) = \\frac12\. \\\]  
\\\[ \\begin{aligned} \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x>-3}}f(x) &= \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x>-3}} \\frac{\\sqrt{2x+10}-2}{x+3}\\\\ &= \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x>-3}} \\frac{2(x+3)} {(x+3)(\\sqrt{2x+10}+2)}\\\\ &= \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x>-3}} \\frac{2}{\\sqrt{2x+10}+2} = \\frac12\. \\end{aligned} \\\]  
Puisque \\\[ \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x<-3}}f(x) = \\lim\_{\\substack{x\\to -3\\\\x>-3}}f(x) = f(-3), \\\] alors la fonction *f* est continue au point *x*0 \= −3\.  

**— Continuité de la fonction *f* sur ℝ :**  
La fonction *f* est continue sur l'intervalle \]−∞ ; −3\[ (restriction d'une fonction polynôme).  
La fonction *x* ↦ 2*x* \+ 10 est continue et positive sur l'intervalle \]−3 ; +∞\[. Donc la fonction numérique *x* ↦ √(2*x* \+ 10) − 2 est continue sur cet intervalle.  
La fonction *x* ↦ *x* \+ 3 est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle \]−3 ; +∞\[.  
La fonction *f* est donc continue sur l'intervalle \]−3 ; +∞\[ en tant que quotient de deux fonctions continues sur cet intervalle.  
Comme *f* est continue en −3 et sur chacun des intervalles \]−∞ ; −3\[ et \]−3 ; +∞\[, alors elle est continue sur ℝ tout entier.

Soit *f* la fonction numérique définie sur l'intervalle \[−2 ; 1\[ par : *f*(*x*) = *x* *E*(*x*) + 1\. 

**a) Expression de *f*(*x*) sur chacun des intervalles :** 

1. Sur l'intervalle \[−2 ; −1\[, la partie entière de *x* est −2\. Donc *E*(*x*) = −2 et : *f*(*x*) = −2*x* \+ 1\.
2. Sur l'intervalle \[−1 ; 0\[, la partie entière de *x* est −1\. Donc *E*(*x*) = −1 et : *f*(*x*) = −*x* \+ 1\.
3. Sur l'intervalle \[0 ; 1\[, la partie entière de *x* est 0\. Donc *E*(*x*) = 0 et : *f*(*x*) = 1\.

**b) Construction de la courbe *C*f :** 

Pour construire la courbe *C*f, traçons les points clés et les segments correspondant à chaque expression de *f*(*x*). 

1. Sur \[−2 ; −1\[, la fonction est *f*(*x*) = −2*x* \+ 1\. Le segment va du point (−2 ; 5) vers le point (−1 ; 3), ce dernier étant exclu.
2. Sur \[−1 ; 0\[, la fonction est *f*(*x*) = −*x* \+ 1\. Le segment va du point (−1 ; 2) vers le point (0 ; 1), ce dernier étant exclu.
3. Sur \[0 ; 1\[, la fonction est *f*(*x*) = 1\. Il s'agit d'une portion de droite horizontale passant par le point (0 ; 1).

La courbe *C*f est donc constituée de trois portions de droites : 

1. une portion de droite allant de (−2 ; 5) vers (−1 ; 3) ;
2. une portion de droite allant de (−1 ; 2) vers (0 ; 1) ;
3. une portion de droite horizontale passant par (0 ; 1).

La fonction *f* n'est pas continue sur l'intervalle \[−2 ; 1\[ car elle présente un saut en −1, où la fonction passe brusquement d'une expression à une autre sans former une courbe continue. 

![courbe de la fonction  xE(x)+1](https://guahouane.com/content/images/2026/10/courbe-de-la-fonction--xE-x--1.png)

courbe de la fonction xE(x)+1 sur \[-2;1\[

### Continuité de la composée de deux fonctions

#### Propriété

Soit *f* une fonction définie sur un intervalle *I* et *g* une fonction définie sur un intervalle *J* tel que *f*(*I*) ⊂ *J*, et soit *x*0un élément de *I*. 

- Si *f* est continue au point *x*0 et *g* est continue au point *f*(*x*0), alors la fonction *g* ∘ *f* est continue en *x*0.
- Si *f* est continue sur un intervalle *I* et *g* est continue sur un intervalle *J* tel que *f*(*I*) ⊂ *J*, alors la fonction *g* ∘ *f* est continue sur l'intervalle *I*.

#### Exemple

- Soit *f* la fonction numérique définie par : *f*(*x*) = cos(sin(*x*)).  
Montrons que la fonction *f* est continue sur ℝ.  
Puisque les fonctions *f*1 : *x* ↦ sin(*x*) et *f*2 : *x* ↦ cos(*x*) sont continues sur ℝ et que *f*1(ℝ) ⊂ ℝ, alors la fonction *f* \= *f*2 ∘ *f*1est continue sur ℝ.
- Soit *f* la fonction numérique définie par : *f*(*x*) = √(*x*2 \+ 2*x* \+ 1).  
Montrons que la fonction *f* est continue sur ℝ.  
La fonction *f*1 : *x* ↦ *x*2 \+ 2*x* \+ 1 est continue sur ℝ et la fonction *f*2 : *x* ↦ √*x*est continue sur ℝ+.  
De plus, pour tout *x* ∈ ℝ, *x*2 \+ 2*x* \+ 1 = (*x* \+ 1)2 ≥ 0\. Ainsi, *f*1(ℝ) ⊂ ℝ+.  
Alors la fonction *f* \= *f*2 ∘ *f*1est continue sur ℝ.

#### Résultats

- Si *f* est une fonction continue et positive sur un intervalle *I*, alors la fonction √*f* est continue sur *I*.
- Si *f* est une fonction continue sur un intervalle *I*, alors la fonction cos(*f*) est continue sur *I*.
- Si *f* est une fonction continue sur un intervalle *I*, alors la fonction sin(*f*) est continue sur *I*.

## Image d'un intervalle par une fonction continue

#### Propriété

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. 

**Autrement dit :** 

Si la fonction *f* est continue sur \[*a* ; *b*\], alors *f*(\[*a* ; *b*\]) = \[*m* ; *M*\], avec *M* la valeur maximale et *m* la valeur minimale de *f*sur \[*a* ; *b*\]. 

![](https://guahouane.com/content/images/2026/10/imageIntervalle.png)

D'après la figure ci-dessus, on a : 

- *f*(\[−2 ; −1\]) = \[0,5 ; 5\]
- *f*(\[−2 ; 0\]) = \[−2 ; 5\]
- *f*(\[0 ; 2\]) = \[−2,6 ; −1\]
- *f*(\[−1 ; 0\]) = \[−2 ; 0,5\]
- *f*(\[2 ; 3\]) = \[−1 ; 2,6\]
- *f*(\[3 ; 4\]) = \[2,6 ; 8\]

#### Remarque

La continuité d'une fonction est une **condition suffisante** pour que l'image d'un intervalle soit un intervalle, **mais** cette condition **n'est évidemment pas nécessaire**. 

En effet, il se peut que l'image d'un intervalle par une fonction discontinue soit un intervalle, comme le montre l'exemple suivant. 

Considérons la fonction *f* définie sur \[−1 ; 3\] par : 

\\\[ f(x)= \\begin{cases} 3x & \\text{si } x\\in\[-1;1\],\\\\ -x+1 & \\text{si } x\\in\]1;3\]. \\end{cases} \\\] 

L'image de l'intervalle \[−1 ; 2\] par la fonction *f* est l'intervalle \[−3 ; 3\], bien que la fonction *f* ne soit pas continue sur \[−1 ; 2\]. 

Les intervalles *I* et *f*(*I*) **ne sont pas toujours de même nature**. À titre d'exemple, l'image de l'intervalle semi-ouvert \]−2 ; 3\] par la fonction *x* ↦ *x*2 est le segment \[0 ; 9\]. 

![](https://guahouane.com/content/images/2026/10/imageIntervalle2.png)