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# Devoirs 3 Semestre II - TCS
- URL: https://guahouane.com/devoirs-3-semestre-ii-tcs/
- Published: 2026-09-20T21:23:14.000Z
- Updated: 2026-09-20T21:23:14.000Z
- Author: Gu. Abdessamiä
- Tags: TCS : CONTROLES

## Modèle I

Fonctions numériques

## QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
  - $ f(x) = 5 + \\sqrt{3 - 2x} $
  - $ g(x) = \\sqrt{x^2 - 4} $
  - $ h(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 2x - 3} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
  - $ f(x) = x^5 - 3x^3 $
  - $ f(x) = \\dfrac{x^2}{x^2 + 4} $
  - $ f(x) = \\dfrac{x^2 + 1}{x} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \\dfrac{1}{x} $ (3 pts)
  - Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; \\sqrt{2} ; -1 ; -\\sqrt{2} $
  - Montrer que $2$ est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = \]0 ; +\\infty\[ $

## EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 + 5x + \\dfrac{21}{4} $,  
et soit $ (C\_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C\_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D\_f $, on a : $ f(x) = \\left(x + \\dfrac{5}{2}\\right)^2 - 1 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \\left\]-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right\] $ et $ \\left\[-\\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right\[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \\leq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.  
(Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

## EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \\dfrac{3x + 5}{x - 2} $,  
et soit $ (C\_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer $ D\_g $, et vérifier que pour tout $ x \\in D\_g $ : $ g(x) = 3 + \\dfrac{11}{x - 2} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C\_g) $ avec les axes du repère $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ \]-\\infty, 2\[ $, $ \]2, +\\infty\[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_g) $ (1.5 pts)

## Modèle II

Fonctions numériques

## QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
  - $ f(x) = 1 - \\sqrt{5 - x} $
  - $ g(x) = \\sqrt{x^2 - 9} $
  - $ h(x) = \\dfrac{3x}{x^2 + 3x - 4} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
  - $ f(x) = x^7 + x|x|^3 $
  - $ f(x) = \\dfrac{3}{x^2 + 4} $
  - $ f(x) = \\dfrac{x^3}{x^2 - 1} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \\dfrac{9}{x} $ (3 pts)
  - Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; 3 ; -1 ; -3 $
  - Montrer que 6 est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = \]0 ; +\\infty\[ $

## EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 - 5x + \\dfrac{21}{4} $,  
et soit $ (C\_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C\_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D\_f $, on a : $ f(x) = \\left(x - \\dfrac{5}{2}\\right)^2 - 1 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \\left\]-\\infty, \\dfrac{5}{2}\\right\] $ et $ \\left\[\\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right\[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \\geq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.  
(Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

## EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \\dfrac{4x - 3}{x + 2} $,  
et soit $ (C\_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer $ D\_g $, et vérifier que pour tout $ x \\in D\_g $ : $g(x) = 4 - \\dfrac{11}{x + 2} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C\_g) $ avec les axes du repère $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ \]-\\infty, -2\[ $, $ \]-2, +\\infty\[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_g) $ (1.5 pts)

## Modèle II

Fonctions numériques

## QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
  - $ f(x) = 2 + \\sqrt{4 - 3x} $
  - $ g(x) = \\sqrt{x^2 - 16} $
  - $ h(x) = \\dfrac{x - 1}{x^2 - 5x + 6} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
  - $ f(x) = 2x^3 - x|x| $
  - $ f(x) = \\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} $
  - $ f(x) = \\dfrac{1}{x^3 - x} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \\dfrac{1}{x} $ (3 pts)
  - Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} ; -1 ; -\\dfrac{1}{\\sqrt{2}} $
  - Montrer que 2 est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = \]0 ; +\\infty\[ $

## EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 + 3x - \\dfrac{7}{4} $,  
et soit $ (C\_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C\_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D\_f $, on a : $ f(x) = \\left(x + \\dfrac{3}{2}\\right)^2 - 4 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \\left\]-\\infty, -\\dfrac{3}{2}\\right\] $ et $ \\left\[-\\dfrac{3}{2}, +\\infty\\right\[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \\leq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.  
(Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

## EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 3} $,  
et soit $ (C\_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $

1. Déterminer $ D\_g $, et vérifier que pour tout $ x \\in D\_g $ : $ g(x) = 2 + \\dfrac{7}{x - 3} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C\_g) $ avec les axes du repère $ (\\vec{O}, \\vec{i}, \\vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ \]-\\infty, 3\[ $, $ \]3, +\\infty\[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C\_g) $ (1.5 pts)