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# Exercices de Synthèse
- URL: https://guahouane.com/exercices-de-synthese/
- Published: 2026-09-21T14:38:04.000Z
- Updated: 2026-09-21T14:48:14.000Z
- Author: Gu. Abdessamiä
- Tags: TCS : EXERCICES

### Exercice 1

Soit *n* un entier naturel.

1. Déterminer la parité de chacun des entiers naturels suivants :  
2024 ; 7561 ; 2023 × 351 ; 1547 × 8396 ; 201913 \+ 144327
2. 1. Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs parmi les nombres suivants :  
*a* \= 8*n* \+ 6 ; *b* \= 10*n* \+ 5 ; *c* \= 4*n*2 \+ 12*n* \+ 7 ; *d* \= 12*n*3 \+ 28*n*2 \+ 36
  2. On pose : *x* \= *n*(*n* \+ 1) ; *y* \= 3*n*2 \+ 5*n* \+ 4 ; *z* \= *n*2 \+ 7*n* \+ 11  
  Montrer que les nombres *x* et *y* sont pairs et le nombre *z* est impair.
3. 1. Développer l'expression : (*n* \+ 1)2 \- *n*2.
  2. En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés successifs.
  3. Écrire les nombres suivants comme différence de deux carrés successifs : 41 ; 59 ; 73 ; 85.
4. Soit α et β deux entiers naturels tels que le nombre (α + β)2 soit pair.  
Montrer que α2 \+ β2 est pair.
5. Existe-t-il des entiers naturels pairs *m*, *p* et *q* vérifiant l'égalité : *p*2 \+ *q*2 \- 2*m* \= 34 ?

### Exercice 2

Soit *n* un entier naturel.

1. Montrer que le nombre 2856240 est divisible par les nombres : 4 ; 5 ; 9.
2. Déterminer les multiples du nombre 23 compris entre 100 et 200.
3. Soit *a*, *b* et *c* des entiers naturels.  
Montrer que si *a* divise *b* et *c*, alors *a* divise le nombre *mb* \+ *nc* pour tous entiers naturels *m* et *n*.
4. 1. Montrer que le nombre *X* \= 5*n*+3 × 3*n*+1 \- 25 est divisible par 50.
  2. Montrer que le nombre *n*(*n* \+ 1)(*n* \+ 2) est un multiple de 3.
  3. Montrer que si *n* est impair, alors 8 divise le nombre *n*2 \- 1.
5. On suppose dans cette question que *n* ≥ 4.  
Montrer que si le nombre *n* \- 4 est divisible par 5, alors le nombre *n*2 \- 1 est aussi divisible par 5\.
6. 1. Vérifier que pour tout *n* ∈ ℕ : \\\[ \\frac{3n + 28}{n + 4} = 3 + \\frac{16}{n + 4} \\\]
  2. Déterminer les valeurs de l'entier *n* pour lesquelles : \\\[ \\frac{3n + 28}{n + 4} \\in \\mathbb{N} \\\]
7. Soit *x* et *y* deux entiers naturels tels que : *x* ≥ *y*.  
  1. Montrer que les nombres *x* \- *y* et *x* \+ *y* ont la même parité.
  2. Déterminer *x* et *y* sachant que : *x*2 \- *y*2 \= 36.
8. Déterminer tous les couples (*m* ; *n*) d'entiers naturels tels que : *mn* \+ 3*m* \+ 2*n* \= 18.

### Exercice 3

1. 1. Déterminer l'ensemble des diviseurs de chacun des nombres 72 et 108.
  2. En déduire la valeur de : 72 ∧ 108.
2. Soit *m* et *n* deux entiers naturels tels que : *m* ∧ *n* \= 84.  
Quels sont les diviseurs communs des entiers *m* et *n* ?
3. En utilisant la méthode des divisions successives, déterminer : 2646 ∧ 945 ; 1777 ∧ 1345.
4. 1. Déterminer les multiples inférieurs à 200 de chacun des nombres 28 et 35.
  2. En déduire la valeur de : 28 ∨ 35.
  3. Donner cinq multiples communs supérieurs à 200 des nombres 28 et 35.
5. 1. Trouver tous les couples (*x* ; *y*) d'entiers naturels tels que : *x*2 \- *y*2 \= 51.
  2. Déterminer tous les couples (*a* ; *b*) d'entiers naturels tels que : \\\[ \\begin{cases} a^2 - b^2 = 7344 \\\\ a \\wedge b = 12 \\end{cases} \\\]

### Exercice 4

1. Déterminer les nombres premiers parmi les nombres suivants :  
953 ; 2419 ; 2789 ; 3499 ; 4757 ; 5387 ; 8461 ; 8993 ; 9973
2. Dans chacun des cas suivants, décomposer les entiers naturels *x* et *y* en produit de facteurs premiers puis en déduire *x* ∧ *y* et *x* ∨ *y* :  
  1. *x* \= 720 et *y* \= 756
  2. *x* \= 3549 et *y* \= 1365
3. On considère les nombres suivants : *a* \= 3960 et *b* \= 2100\.  
  1. Décomposer les nombres *a* et *b* en produit de facteurs premiers.
  2. Calculer *a* ∧ *b* et *a* ∨ *b* puis vérifier que : (*a* ∧ *b*) × (*a* ∨ *b*) = *ab*.
  3. Simplifier les expressions suivantes : \\\[ \\frac{3960}{2100} \\quad \\text{et} \\quad \\sqrt{3960 \\times 2100} \\\]
  4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul *m* tel que *am* soit un carré parfait.
  5. Déterminer le plus petit entier naturel non nul *p* tel que *bp* soit le cube d'un entier naturel.
  6. Décomposer le nombre *c* \= *a*2 \+ *b*2 en produit de facteurs premiers.
4. Soit *n* un entier naturel non nul.  
Décomposer le nombre *N* \= 12*n*+2 \+ 25 × 12*n* en produit de facteurs premiers.