Devoirs Maths 2 Bac PC / SVT modèle 1

Table des matières

Exercice 1

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On considère la fonction $f$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3} \quad \quad \text { si } x<3 \\ f(3)=6 \\ f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x+6}-3} \quad \text { si } x>3\end{array}\right.$

Étudier la continuité de la fonction $f$ en $3$ à droite, puis
étudier la continuité de la fonction $f$ en $3$ à gauche. Que peut-on dédire ?
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

On considère la fonction numérique définie par :

$f(x) = x^{3} + x - 1$

Montrer que $f$ est une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0,1[$ .
En utilisant la méthode de la dichotomie, donner un encadrement du nombre $\alpha$ d’amplitude $0{,}25$ .

Exercice 3

On considère la fonction $g$ définie par :

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3}$

Montrer que : $f'(x) = \dfrac{8x}{(x^{2} + 3)^{2}}$ , puis déduire les variations de la fonction $f$ .
Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à $\mathbb{R}^{+}$ .
Montrer que $g$ admet une finction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x$ appartenant à $J$ .

Exercice 4

Les questions sont indépendantes

Comparer les nombres $\sqrt[5]{3}$ et $\sqrt[4]{2}$ .
Résoudre dans les équations suivantes :
- $(1-x)^3=-8$
- $\sqrt[3]{x^{2} + 7x} = 2$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\sqrt[3]{x - 2} - 3 > 0$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\sqrt[3]{x - 2} - 3 > 0$ .
Simplifier l’expression : $A = \dfrac{\sqrt[4]{9}\sqrt{\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9}}}{\sqrt[3]{81}\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{3}^{2}}}}$
Calculer les limites suivantes :
- $\lim\limits_{x\to+\infty} \sqrt[3]{x^{3} + x} - 2x$
- $\lim\limits_{x\to1} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 1}{x - 1}$
- $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}$