Table des matières

Ensemble N – Nombres pairs & impairs

Ensemble des entiers naturels : N

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\textbf{Définition}

  • Les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; \ldots forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels et noté (\mathbb{N}). On écrit : \mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \cdots\}.
  • L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté (\mathbb{N}^{*}).

Exemples :

  • Les nombres : 10 ; 230 ; 2024 sont des entiers naturels. On écrit par exemple : 10 \in \mathbb{N} et on lit : «10 appartient à l’ensemble \mathbb{N} » ou encore « 10 est un élément de l’ensemble \mathbb{N} ».
  • Les nombres : -1 ; \frac{1}{2} ; \sqrt{3} ne sont pas des entiers naturels. On écrit par exemple : -1 \notin \mathbb{N} et on lit : «-1 n’appartient pas à l’ensemble \mathbb{N} » ou encore «-1 n’est pas un élément de l’ensemble \mathbb{N} ».

Nombrs pairs & Nombres impairs

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\textbf{Définition}
Soit a un entier naturel.

  • On dit que a est un nombre pair s’il est multiple du nombre 2. Autrement dit, il existe un entier naturel k tel que : a=2k.
  • On dit que a est un nombre impair s’il n’est pas pair. Autrement dit, il existe un entier naturel k tel que : a=2k+1.

Exemples :

  • Les nombres : 0 ; 2 ; 4 ; 64 ; 2024 ; 34246 ; 12128 sont des nombres pairs.
  • Les nombres : 1 ; 3 ; 15 ; 469 ; 2457 ; 2021 sont des nombres impairs.
  • Motrons que le nombre n(n+1) est un nombre pair avec n \in \mathbb{N} :

Soit n un entier naturel non nul.

–> Si n est pair :
alors n=2 k \quad(k \in N )
donc n+1=2 k+1 \quad(k \in N )
et par suite :

    \[\begin{aligned} n(n+1) \quad & =2 k(2 k+1) \\ & =2\left(2 k^2+k\right) \\ &=2 k^{\prime} \quad \text{ avec } \left(k^{\prime}=2 k^2+k \in N \right)\end{aligned}\]


–> Si n est impair:
alors n=2 k+1 \quad(k \in N )
donc n+1=2 k+1+1=2 k+2=2(k+1) \quad(k \in N )
et par suite :

    \[\begin{aligned} n(n+1) & =(2 k+1) \cdot 2(k+1) \\ = & 2 \times((2 k+1) \cdot(k+1)) \\ & =2 \times\left(2 k^2+3 k+1\right) \\ &=2 \cdot k^{\prime \prime} \quad \quad \text{ avec } \left(k^{\prime \prime}=2 k^2+3 k+1 \in N \right)\end{aligned}\]


D’où le résultat.

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\textbf{Remarque}
Soit a un entier naturel.

  • Un entier naturel est soit pair soit impair.
  • Un entier naturel est pair, si son chiffre d’unité est pair.
  • Un entier naturel est impair, si son chiffre d’unité est impair.
  • Déterminer la parité d’un entier naturel c’est savoir si cet entier est pair ou impair.

Opérations sur les nombres pairs et impairs

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Soit a et b deux entiers naturels tels que : a \geqslant b. Alors :

  • Si a et b sont pairs, alors les nombres a+b, a-b et ab sont pairs.
  • Si a et b sont impairs, alors les nombres a+b et a-b sont pairs et ab est impair.
  • Si a est pair et b est impair, alors les nombres a+b et a-b sont impairs et ab est pair .
  • Les nombres a et a^{2} ont la même parité .

Application

  1. Étudier la parité des nombres suivants :

        \[ 2^9+6^9 ; 17^3-5^3 ; 351 \times 208 ; 37013 \times 1375 \]

  2. Étudier la parité des nombres suivants:
    • a=2 n^2+13
    • b=n^3-n
    • c=(2 n+1)^7
    • d=n^2+3 n+1

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