Exercice d’arithmétique dans N

Table des matières

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Soit n est un entier naturel.

Déterminer la parité de chacun des entiers naturels suivants :
2024 ; 7561 ; 2023 × 351 ; 1547 × 8396 ; 2019¹³ + 1443²⁷
1. Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs parmi les nombres suivants :
  a = 8n + 6 ; b = 10n + 5 ; c = 4n² + 12n + 7 ; d = 12n³ + 28n² + 36
2. On pose : x = n(n + 1) ; y = 3n² + 5n + 4 ; z = n² + 7n + 11
  Montrer que les nombres x et y sont pairs et le nombre z est impair.
1. Développer l’expression : (n + 1)² − n².
2. En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés successifs.
3. Écrire les nombres suivants comme différence de deux carrés successifs : 41 ; 59 ; 73 ; 85
Soit α et β deux entiers naturels tels que le nombre (α + β)² soit pair.
Montrer que α² + β² est pair.
Existe-t-il des entiers naturels pairs m, p et q vérifiant l’égalité :
p² + q² − 2m = 34 ?

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Soit n est un entier naturel.

Montrer que le nombre 2856240 est divisible par les nombres : 4 ; 5 ; 9.
Déterminer les multiples du nombre 23 compris entre 100 et 200.
Soit a, b et c des entiers naturels.
Montrer que si a divise b et c, alors a divise le nombre mb + nc pour tous entiers naturels m et n.
1. Montrer que le nombre X = 5ⁿ⁺³ × 3ⁿ⁺¹ − 25 est divisible par 50.
2. Montrer que le nombre n(n + 1)(n + 2) est un multiple de 3.
3. Montrer que si n est impair, alors 8 divise le nombre n² − 1.
On suppose dans cette question que n ≥ 4.
Montrer que si le nombre n − 4 est divisible par 5, alors le nombre n² − 1 est aussi divisible par 5.
1. Vérifier que pour tout n ∈ ℕ :
  $\frac{3n + 28}{n + 4} = 3 + \frac{16}{n + 4}$ .
2. Déterminer les valeurs de l’entier n pour lesquelles
  $\frac{3n + 28}{n + 4} ∈ ℕ$ .
Soit x et y deux entiers naturels tels que x ≥ y.
1. Montrer que les nombres x − y et x + y ont la même parité.
2. Déterminer x et y sachant que x² − y² = 36.
Déterminer tous les couples (m ; n) d’entiers naturels tels que
mn + 3m + 2n = 18.

Exercice 3

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1. Déterminer l’ensemble des diviseurs de chacun des nombres 72 et 108.
2. En déduire la valeur de $72 \wedge 108$ .
Soit m et n deux entiers naturels tels que : $m \wedge n = 84$ .
Quels sont les diviseurs communs des entiers m et n ?
En utilisant la méthode des divisions successives, déterminer : $2646 \wedge 945$ et $1777 \wedge 1345$ .
1. Déterminer les multiples inférieurs à 200 de chacun des nombres 28 et 35.
2. En déduire la valeur de $28 \vee 35$ .
3. Donner cinq multiples communs supérieurs à 200 des nombres 28 et 35.
1. Trouver tous les couples $(x ; y)$ d’entiers naturels tels que : $x^2 - y^2 = 51$ .
2. Déterminer tous les couples $(a ; b)$ d’entiers naturels tels que :
  $\begin{cases} a^2 - b^2 = 7344 \\ a \wedge b = 12 \end{cases}$