Représentation graphique et variations d’une fonction homographique

Table des matières

Introduction

Représentation graphique et variations de la fonction : $x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

Soit (f) la fonction numérique définie comme suit :

$f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$

où $c \neq 0$ , (a, b, c, d) sont des nombres réels, $ad-bc \neq 0$ , et $x \neq -\frac{d}{c}$ .

On admet les résultats suivants :

Propriété

Il existe trois nombres réels (\alpha), (\beta) et (k) tels que : $f(x) = \beta + \frac{k}{x+\alpha}$ avec $x \neq -\alpha$ . ( la forme réduite de la fonction $f(x))$ .
La courbe de la fonction $f$ est l’image de l’hyperbole (H) d’équation $y = \frac{k}{x}$ par la translation de vecteur $-\alpha\vec{i} + \beta\vec{j}$ .
Variations de $(f)$ :

Représentation graphique et variations d'une fonction homographique

Définition

La courbe de $f$ est appelée une hyperbole de centre $S(-\alpha; \beta)$ et ses asymptotes sont les droites $(D_1): x = -\alpha$ et $(D_2): y = \beta$ .

Exemple

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ comme suit :

$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$

Écrire $f(x)$ sous la forme réduite et donner le tableau de variations de $f$ .
Tracer la courbe de la fonction $f$ .

Solution

1. On a la forme réduite de (f(x)) :
$f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$

Puisque (k=3 ) alors le tableau de variations est :

2. Pour tracer $(C_f)$ , on identifie cette forme à $f(x) = \beta + \frac{k}{x+\alpha}$ .

Ici, $k=3$ , $\beta=2$ , et $x+\alpha = x-1 \text{ c-à-d } \alpha = -1$ .

Donc, $(C_f)$ est l’image de l’hyperbole de référence (H) d’équation $y = \frac{k}{x}$ , c’est-à-dire $y = \frac{3}{x}$ , par la translation de vecteur $\vec{u} = -\alpha\vec{i} + \beta\vec{j} = \vec{i} + 2\vec{j}$

Le centre de l’hyperbole $(C_f)$ est le point $S(-\alpha, \beta) = S(1, 2)$ .

Les asymptotes de $(C_f)$ sont les droites d’équations $x = -\alpha \text{ c-à-d } x=1$ (asymptote verticale) et $y = \beta \text{ c-à-d } y=2$ (asymptote horizontale).