Table des matières

f(-x) = \frac{a}{-x} = -\frac{a}{x} = -f(x) <br>

Donc, (C_f) est l’image de l’hyperbole de référence (H) d’équation y = \frac{k}{x}, c’est-à-dire y = \frac{3}{x}, par la translation de vecteur \vec{u} = -\alpha\vec{i} + \beta\vec{j} = \vec{i} + 2\vec{j}

La fonction x ↦ a x ( a ≠ 0 )

Soit a un nombre réel non nul.

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par f(x) = \frac{a}{x} et (\mathcal{H}) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}).

  • Ensemble de définition : D_f = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[.
  • Parité de la fonction f:
    Soit x \in D_f. On a : -x \in D_f. f(-x) = \frac{a}{-x} = -\frac{a}{x} = -f(x) Donc f(-x) = -f(x), et par suite f est une fonction impaire.
  • Variations de f:
    • Si a > 0 :
      Graph of f(x) = a/x for a > 0 showing decreasing behavior »></li> </ul> </div> <div class=
      • Si a < 0 :
        Graph of f(x) = a/x for a < 0 showing increasing behavior
  • Représentation graphique :
    Puisque f est une fonction impaire, il suffit de représenter f sur ]0, +\infty[, puis on complète la courbe de la fonction f sur l’intervalle ]-\infty, 0[ en utilisant la symétrie centrale de centre O, l’origine du repère.

    La courbe de la fonction x \mapsto \frac{a}{x} (a \neq 0) est appelée une hyperbole de centre O, l’origine du repère, et ses asymptotes sont les droites d’équations x=0 et y=0.

    • a>0 :
      Graph of hyperbola for a > 0″></li> </ul> </div> <div class=
      • a<0 :
        Graph of hyperbola for a < 0

Application

Soit f la fonction numérique définie sur \mathbb{R}^* comme suit : f(x) = \frac{1}{x}.

Soit C_f sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}).

Soit (D) la droite d’équation y=2.

  1. Représenter C_f et (D) et déterminer leur intersection.
  2. Résoudre graphiquement : 0 < \frac{1}{x} < 2.

Solution de l’application

Graph for the application problem showing the hyperbola and the line y=2
  1. (D) et C_f se coupent au point A d’abscisse \frac{1}{2}.
  2. Les solutions de la double inéquation 0 < \frac{1}{x} < 2 sont les abscisses positives des points de la courbe C_f pour lesquels la droite (D) est au-dessus de C_f.
    Donc, les solutions recherchées sont : S = \left]\frac{1}{2}, +\infty\right[.
Définition : Équation cartésienne d’une droite

L’équation d’une droite avec un vecteur directeur \vec{d} = (a, b, c), où a, b et c sont des nombres réels non nuls, qui passe par le point (x_0 ; y_0 ; z_0) est donnée par :

    \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]

Theorem

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