Table des matières

Dérivabilité en un point

Nombre dérivé en un point

Définition 1

📝
\textbf{Définition}
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, avec x_{0} \in I et \ell \in \mathbb{R}.
On dit qu’une fonction f est \textbf{dérivable en x_0} si la limite :

    \[ \boxed{\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = \ell} \]

Cette limite est appelée le \textbf{nombre dérivé} de f en x_0, noté f^{\prime}\left(x_0\right).

Remarque 1

  • Une autre définition équivalente de la dérivée est :

        \[f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\]

  • Notez que la dérivée d’une fonction (y=f(x)) peut également être notée

        \[\frac{ d y}{ d x}\]


    qui se lit comme «la dérivée de (y) par rapport à (x ) » ou « (d y) sur (d x ) ».

Exemple 1

Soit la fonction g définie comme suit :

    \[ g(x)=2x+1 \]

Étudier la dérivabilité de g(x) en x_0=3 et déterminez sa dérivée en ce point.

Pour étudier la dérivabilité de g(x) en x_0=3, nous devons vérifier si la limite suivante existe :

    \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{g(x)-g(3)}{x-3} \]

On a :

    \[ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \frac{g(x)-g(3)}{x-3} &= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{2x+1-7}{x-3} \\ &= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{2x-6}{x-3} \\ &= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{2(x-3)}{x-3} \\ &= 2 \end{aligned} \]

Comme la limite existe et est finie, nous pouvons conclure que g(x) est dérivable en x_0=3.

Conclusion : La fonction g(x)=2x+1 est dérivable en x_0=3, et sa dérivée en ce point est de 2.

Interprétation géométrique

Définition 2

📝
Soit f fonction est dérivable en x_0 et \left(C_f\right) sa courbe représentative dans un repère (O, \vec{i}, \vec{j}).
L’équation de la \textbf{tangente} à la courbe \left(C_f\right) au point d’abscisse x_0 est:

    \[\boxed{ y=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right) }\]

Exemple 2

Dans l’exemple précédente, on montré que la fonction g(x)=2 x+1 est dérivable en x_0=3, et sa dérivée en ce point est de 2 .
Donc , la courbe (C_f) admet une tangente (T) en x_0=2 dont l’ equation :
(T) \, : \, y = f^{\prime}(0) \left(x-0\right) +f(0)
(T) \, : \, y = 2 \left(x-0\right) +1
(T) \, : \, y = 2 x +1

Continuité et dérivabilité

Propriété 1

  • Si f est dérivable en a alors la fonction f est continue en a.
  • Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I.

Remarque 2

La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s’en rendre compte, on peut s’appuyer sur une représentation graphique. Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :

La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau. Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.

Fonction affine tangente à f

Propriété 2

📖
Soit f est une fonction dérivable en a.
La fonction x \rightarrow f^{\prime}(a)(x-a)+f(a) est appelée la \textbf{fonction affine tangente à \mathrm{f} en a}.
\textsl{\underline{Autrement dit}} : \textbf{ Si }x \simeq a \text{\textbf{ alors }}f(x) \simeq f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

Exemple 3

Soit f la fonction définie par : f(x)=\sqrt{x+1}

  • Déterminer f^{\prime}(0) le nombre dérivée de la fonction f en 0 .
  • Déterminer une approximation affine au voisinage de 0 de la fonction f.
  • En déduire des valeurs approchées de : \sqrt{0.998} et \sqrt{1.003}

Soit f la fonction définie par : f(x)=\sqrt{x+1}

  1. Déterminer f^{\prime}(0), le nombre dérivé de la fonction f en x = 0. Pour calculer f'(0), nous pouvons utiliser la définition de la dérivée en évaluant la limite suivante :

        \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \]

    La fonction f(x) est donnée par f(x) = \sqrt{x+1}. Remplaçons dans la limite :

        \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sqrt{x+1} - \sqrt{0+1}}}{{x - 0}} \]

    Simplifions l’expression en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de \sqrt{x+1} + \sqrt{1} :

        \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{(\sqrt{x+1} - \sqrt{1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{1})}}{{x - 0(\sqrt{x+1} + \sqrt{1})}} \]

    En simplifiant le numérateur et le dénominateur, nous obtenons :

        \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{x(\sqrt{x+1} + \sqrt{1})}} \]

    Finalement, nous avons :

        \[ f'(0) = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{{\sqrt{x+1} + \sqrt{1}}} \]

    Évaluons cette limite en x = 0:

        \[ f'(0) = \frac{{1}}{{\sqrt{0+1} + \sqrt{1}}} = \frac{{1}}{{2}} \]

    Ainsi, nous trouvons que f'(0) = \frac{{1}}{{2}}.
  2. Déterminer une approximation affine au voisinage de x = 0 de la fonction f. Une approximation affine au voisinage de x = 0 de la fonction f peut être obtenue en utilisant la formule de la tangente à la courbe en ce point. La forme générale de l’approximation affine est :

        \[ L(x) = f(a) + f^{\prime}(a)(x - a) \]

    Pour notre cas, en prenant a = 0, nous obtenons :

        \[ L(x) = f(0) + f^{\prime}(0)(x - 0) = \sqrt{1} + \frac{1}{2}(x - 0) = 1 + \frac{1}{2}x \]

    Donc, une approximation affine au voisinage de x = 0 de la fonction f est L(x) = 1 + \frac{1}{2}x.
  3. En déduire des valeurs approchées de \sqrt{0.998} et \sqrt{1.003}. Pour trouver des valeurs approchées de \sqrt{0.998} et \sqrt{1.003}, nous pouvons utiliser l’approximation affine obtenue précédemment.En substituant x = -0.002 dans L(x), nous obtenons :

        \[ \sqrt{0.998} = \sqrt{1 - 0.002} \approx 1 + \frac{1}{2}(-0.002) = 0.999 \]

    De même, en substituant x = 0.003 dans L(x), nous obtenons :

        \[ \sqrt{1.003} = \sqrt{1 + 0.003} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.003) = 1.0015 \]

    Donc, une valeur approximative de \sqrt{0.998} est 0.999 et une valeur approximative de \sqrt{1.003} est 1.0015.

Dérivabilité à droite et à gauche

Dérivabilité à gauche et à droite d’un point

Définition 3

📝
Soit (f) une fonction définie sur un intervalle de la forme [a;a+\alpha[ avec \alpha > 0, \ell un réel.

  • Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a; a + \alpha[ avec \alpha > 0, \ell et \ell^{\prime} deux réels.

    On dit que f est dérivable à droite en x_0, si :

        \[ \lim\limits_{x \to x_0^{+}} \frac{f(x) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = \ell \]

    Cette limite est appelée le nombre dérivé de f à droite en x_0, et on le note f^{\prime}_d\left(x_0\right).

  • Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a - \alpha, a] avec \alpha > 0, et \ell^{\prime} un réel.

    On dit que f est dérivable à gauche en x_0, si :

        \[ \lim\limits_{x \to x_0^{-}} \frac{f(x) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = \ell^{\prime} \]

    Cette limite est appelée le nombre dérivé de f à gauche en x_0, et on le note f^{\prime}_g\left(x_0\right).

Exemple 4

Étudions la dérivabilité de la fonction f: x\mapsto |x| à droite et à gauche de 0.

À droite de 0 :

Pour x > 0, la fonction |x| est égale à x.

On a :

    \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{{|x|-0}}{x-0} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{{x}}{x} = 1 \]



La limite est égale à 1,
Donc, la fonction |x| est dérivable à droite de 0 avec f_d^{\prime} (0) = 1.

À gauche de 0 :

Pour x < 0, la fonction |x| est égale à -x.

On a :

    \[ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{{|x|-0}}{x-0} = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{{-x}}{x} = -1 \]



La limite est égale à -1,
Donc, la fonction |x| est dérivable à gauche de 0 avec f_g^{\prime} (0) = -1

Donc, la fonction |x| n’est pas dérivable en 0.

Propriété 3

📖
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, avec x_{0}\in I.

f est dérivable en x_0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x_0 et f_d^{\prime}\left(x_0\right)=f_g^{\prime}\left(x_0\right)

Interprétation géométrique

📝
  • Si f est une fonction dérivable à droite de x_0, alors sa courbe (C_f) admet une demi-tangente à droite de x_0 \left(T_d\right) de coefficient directeur f_d^{\prime}\left(x_0\right).
    L’équation de la demi-tangente à droite de x_0 \left(T_d\right) est :

        \[ \left(T_d\right): y = \left(x - x_0\right) f_d^{\prime}\left(x_0\right) + f\left(x_0\right) \quad \text{avec } x \geq x_0 \]

  • Si f est dérivable à gauche de x_0, alors sa courbe (C_f) admet une demi-tangente à gauche de x_0 \left(T_g\right) de coefficient directeur f_g^{\prime}\left(x_0\right).
    L’équation de la demi-tangente à gauche de x_0 \left(T_g\right) est :

        \[ \left(T_g\right): y = \left(x - x_0\right) f_g^{\prime}\left(x_0\right) + f\left(x_0\right) \quad \text{avec } x \leq x_0 \]

Point anguleux

📝
Si f_d^{\prime}\left(a\right) \neq f_g^{\prime}\left(a\right) donc f n’ est pas dérivable en a et le point A d’abscisse a est appelé \textbf{point anguleux}

Interprétations géométriques

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2 Baccalauréat, Cours,

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