Table des matières
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\textbf{Définition}

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon 1.

Soient I et M deux points de (C).

La mesure de l’angle géométrique \widehat{I O M} en radians est la longueur l de l’arc \overset{\Large\frown}{IM}.

Proportionnalité des unités de mesure

  • La mesure d’un angle plat en degrés est 180^{\circ} tandis que sa mesure en radians est \pi (longueur d’un demi-cercle de rayon 1).
  • Il existe une autre unité de mesure des angles qui est le grade, noté gr ; la mesure d’un angle plat en grades est 200 grades.
  • Si a, \alpha et \beta sont les mesures respectives d’un angle géométrique en degrés, radians et grades, alors a, \alpha et \beta sont proportionnelles respectivement à 180, \pi et 200, c’est-à-dire :

        \[\boxed{\frac{a}{180}=\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{200}}\]

Exemples :

  • La mesure d’un angle plat en degrés est 180^{\circ}, alors sa mesure en radians est \alpha=\frac{180 \times \pi}{180} c’est-à-dire : \alpha=\pi \text{ rad} (et sa mesure en grades est 200 gr).
  • Si la mesure d’un angle en degrés est 30^{\circ}, alors sa mesure en radians est \alpha=\frac{30 \times \pi}{180}, c’est-à-dire : \alpha=\frac{\pi}{6} \text{ rad}. Sa mesure en grades est \beta=\frac{30}{180} \times 200, soit \beta=\frac{100}{3} \text{ gr} \simeq 33,33 \text{ gr}.
  • Si la mesure d’un angle en radians est \frac{\pi}{3} \text{ rad}, alors sa mesure en degrés est a=\frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} \times 180=60^{\circ}.
Mesure en degrés33∘67,5∘150∘18∘80∘20∘
Mesure en radians\frac{11 \pi}{60}\frac{3 \pi}{8}\frac{5 \pi}{6}\frac{\pi}{10}\frac{4 \pi}{9}\frac{\pi}{9}

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