Devoirs 3 Semestre II - TCS

QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
   • $ f(x) = 5 + \sqrt{3 - 2x} $
   • $ g(x) = \sqrt{x^2 - 4} $
   • $ h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2x - 3} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
   • $ f(x) = x^5 - 3x^3 $
   • $ f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 4} $
   • $ f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \dfrac{1}{x} $ (3 pts)
   • Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; \sqrt{2} ; -1 ; -\sqrt{2} $
   • Montrer que $2$ est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = ]0 ; +\infty[ $

EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 + 5x + \dfrac{21}{4} $,
et soit $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D_f $, on a : $ f(x) = \left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - 1 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \left]-\infty, -\dfrac{5}{2}\right] $ et $ \left[-\dfrac{5}{2}, +\infty\right[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \leq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.
   (Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \dfrac{3x + 5}{x - 2} $,
et soit $ (C_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer $ D_g $, et vérifier que pour tout $ x \in D_g $ : $ g(x) = 3 + \dfrac{11}{x - 2} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C_g) $ avec les axes du repère $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ ]-\infty, 2[ $, $ ]2, +\infty[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_g) $ (1.5 pts)

QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
   • $ f(x) = 1 - \sqrt{5 - x} $
   • $ g(x) = \sqrt{x^2 - 9} $
   • $ h(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 3x - 4} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
   • $ f(x) = x^7 + x|x|^3 $
   • $ f(x) = \dfrac{3}{x^2 + 4} $
   • $ f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \dfrac{9}{x} $ (3 pts)
   • Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; 3 ; -1 ; -3 $
   • Montrer que 6 est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = ]0 ; +\infty[ $

EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 - 5x + \dfrac{21}{4} $,
et soit $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D_f $, on a : $ f(x) = \left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - 1 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \left]-\infty, \dfrac{5}{2}\right] $ et $ \left[\dfrac{5}{2}, +\infty\right[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \geq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.
   (Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \dfrac{4x - 3}{x + 2} $,
et soit $ (C_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer $ D_g $, et vérifier que pour tout $ x \in D_g $ : $g(x) = 4 - \dfrac{11}{x + 2} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C_g) $ avec les axes du repère $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ ]-\infty, -2[ $, $ ]-2, +\infty[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_g) $ (1.5 pts)

QUESTIONS INDÉPENDANTES : (6 PTS)

1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (1.5 pts)
   • $ f(x) = 2 + \sqrt{4 - 3x} $
   • $ g(x) = \sqrt{x^2 - 16} $
   • $ h(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 - 5x + 6} $
2. Étudier la parité de la fonction $ f $ dans chacun des cas suivants : (1.5 pts)
   • $ f(x) = 2x^3 - x|x| $
   • $ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} $
   • $ f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x} $
3. Soit $ k $ la fonction numérique définie par : $ k(x) = x + \dfrac{1}{x} $ (3 pts)
   • Calculer les images des nombres suivants : $ 1 ; \dfrac{1}{\sqrt{2}} ; -1 ; -\dfrac{1}{\sqrt{2}} $
   • Montrer que 2 est une valeur minimale pour $ k $ dans l’intervalle $ I = ]0 ; +\infty[ $

EXERCICE 1 : (7.5 PTS)

Soit $ f $ la fonction numérique définie par : $ f(x) = x^2 + 3x - \dfrac{7}{4} $,
et soit $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer les points d'intersection de $ (C_f) $ avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2. Vérifier que pour tout réel $ x $ de $ D_f $, on a : $ f(x) = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 - 4 $ (1 pt)
3. Déterminer les variations de $ f $ sur les intervalles $ \left]-\infty, -\dfrac{3}{2}\right] $ et $ \left[-\dfrac{3}{2}, +\infty\right[ $ (1.5 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_f) $. (1.5 pts)
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $ f(x) \leq 0 $ (1 pt)
6. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $ f(x) = m $ graphiquement.
   (Discuter suivant les valeurs du paramètre $ m $) (1.5 pts)

EXERCICE 2 : (6.5 PTS)

On considère la fonction $ g $ définie par : $ g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} $,
et soit $ (C_g) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $

1. Déterminer $ D_g $, et vérifier que pour tout $ x \in D_g $ : $ g(x) = 2 + \dfrac{7}{x - 3} $ (1.5 pts)
2. Déterminer les points d’intersection de $ (C_g) $ avec les axes du repère $ (\vec{O}, \vec{i}, \vec{j}) $ (1.5 pts)
3. Étudier les variations de $ g $ sur les intervalles $ ]-\infty, 3[ $, $ ]3, +\infty[ $, et dresser son tableau de variation. (2 pts)
4. Tracer la courbe $ (C_g) $ (1.5 pts)