Exercice d'arithmétique dans N

Exercice 1

Soit n est un entier naturel.

1. Déterminer la parité de chacun des entiers naturels suivants :
   2024 ; 7561 ; 2023 × 351 ; 1547 × 8396 ; 2019¹³ + 1443²⁷
2. 1. Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs parmi les nombres suivants :
      a = 8n + 6 ; b = 10n + 5 ; c = 4n² + 12n + 7 ; d = 12n³ + 28n² + 36
   2. On pose : x = n(n + 1) ; y = 3n² + 5n + 4 ; z = n² + 7n + 11
      Montrer que les nombres x et y sont pairs et le nombre z est impair.
3. 1. Développer l'expression : (n + 1)² − n².
   2. En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés successifs.
   3. Écrire les nombres suivants comme différence de deux carrés successifs : 41 ; 59 ; 73 ; 85
4. Soit α et β deux entiers naturels tels que le nombre (α + β)² soit pair.
   Montrer que α² + β² est pair.
5. Existe-t-il des entiers naturels pairs m, p et q vérifiant l'égalité : p² + q² − 2m = 34 ?

Solution