Exercices de Synthèse

Exercice 1

Soit n un entier naturel.

1. Déterminer la parité de chacun des entiers naturels suivants :
   2024  ;  7561  ;  2023 × 351  ;  1547 × 8396  ;  2019¹³ + 1443²⁷
2. 1. Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs parmi les nombres suivants :
      a = 8n + 6   ;   b = 10n + 5   ;   c = 4n² + 12n + 7   ;   d = 12n³ + 28n² + 36
   2. On pose : x = n(n + 1)   ;   y = 3n² + 5n + 4   ;   z = n² + 7n + 11
      Montrer que les nombres x et y sont pairs et le nombre z est impair.
3. 1. Développer l'expression : (n + 1)² - n².
   2. En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés successifs.
   3. Écrire les nombres suivants comme différence de deux carrés successifs : 41 ; 59 ; 73 ; 85.
4. Soit α et β deux entiers naturels tels que le nombre (α + β)² soit pair.
   Montrer que α² + β² est pair.
5. Existe-t-il des entiers naturels pairs m, p et q vérifiant l'égalité : p² + q² - 2m = 34 ?

Exercice 2

Soit n un entier naturel.

1. Montrer que le nombre 2856240 est divisible par les nombres : 4 ; 5 ; 9.
2. Déterminer les multiples du nombre 23 compris entre 100 et 200.
3. Soit a, b et c des entiers naturels.
   Montrer que si a divise b et c, alors a divise le nombre mb + nc pour tous entiers naturels m et n.
4. 1. Montrer que le nombre X = 5ⁿ⁺³ × 3ⁿ⁺¹ - 25 est divisible par 50.
   2. Montrer que le nombre n(n + 1)(n + 2) est un multiple de 3.
   3. Montrer que si n est impair, alors 8 divise le nombre n² - 1.
5. On suppose dans cette question que n ≥ 4.
   Montrer que si le nombre n - 4 est divisible par 5, alors le nombre n² - 1 est aussi divisible par 5.
6. 1. Vérifier que pour tout n ∈ ℕ : \[ \frac{3n + 28}{n + 4} = 3 + \frac{16}{n + 4} \]
   2. Déterminer les valeurs de l'entier n pour lesquelles : \[ \frac{3n + 28}{n + 4} \in \mathbb{N} \]
7. Soit x et y deux entiers naturels tels que : x ≥ y.
   1. Montrer que les nombres x - y et x + y ont la même parité.
   2. Déterminer x et y sachant que : x² - y² = 36.
8. Déterminer tous les couples (m ; n) d'entiers naturels tels que : mn + 3m + 2n = 18.

Exercice 3

1. 1. Déterminer l'ensemble des diviseurs de chacun des nombres 72 et 108.
   2. En déduire la valeur de : 72 ∧ 108.
2. Soit m et n deux entiers naturels tels que : m ∧ n = 84.
   Quels sont les diviseurs communs des entiers m et n ?
3. En utilisant la méthode des divisions successives, déterminer : 2646 ∧ 945  ;  1777 ∧ 1345.
4. 1. Déterminer les multiples inférieurs à 200 de chacun des nombres 28 et 35.
   2. En déduire la valeur de : 28 ∨ 35.
   3. Donner cinq multiples communs supérieurs à 200 des nombres 28 et 35.
5. 1. Trouver tous les couples (x ; y) d'entiers naturels tels que : x² - y² = 51.
   2. Déterminer tous les couples (a ; b) d'entiers naturels tels que : \[ \begin{cases} a^2 - b^2 = 7344 \\ a \wedge b = 12 \end{cases} \]

Exercice 4

1. Déterminer les nombres premiers parmi les nombres suivants :
   953  ;  2419  ;  2789  ;  3499  ;  4757  ;  5387  ;  8461  ;  8993  ;  9973
2. Dans chacun des cas suivants, décomposer les entiers naturels x et y en produit de facteurs premiers puis en déduire x ∧ y et x ∨ y :
   1. x = 720  et  y = 756
   2. x = 3549  et  y = 1365
3. On considère les nombres suivants : a = 3960 et b = 2100.
   1. Décomposer les nombres a et b en produit de facteurs premiers.
   2. Calculer a ∧ b et a ∨ b puis vérifier que : (a ∧ b) × (a ∨ b) = ab.
   3. Simplifier les expressions suivantes : \[ \frac{3960}{2100} \quad \text{et} \quad \sqrt{3960 \times 2100} \]
   4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul m tel que am soit un carré parfait.
   5. Déterminer le plus petit entier naturel non nul p tel que bp soit le cube d'un entier naturel.
   6. Décomposer le nombre c = a² + b² en produit de facteurs premiers.
4. Soit n un entier naturel non nul.
   Décomposer le nombre N = 12ⁿ⁺² + 25 × 12ⁿ en produit de facteurs premiers.