Continuité d'une fonction numérique

Continuité en un point

Définition

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et x₀ un élément de I.

On dit que la fonction f est continue au point x₀ si : lim;_{x → x₀} f(x) = f(x₀)

La fonction est continue en 1
La fonction n'est pas continue (discontinue) en 1

Exemple

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x - 3} & \text{si } x \neq 3 \\ 0 & \text{si } x = 3 \end{cases}\]
Montrons que la fonction $g$ est continue au point $x_0 = 3$ :

Nous devons prouver que $\lim_{x \to 3} g(x) = g(3)$.

Calculons d'abord la limite :
\[\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x - 3}\]
En factorisant le numérateur :
\[\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 - 5x + 6)}{x - 3}\]
Nous pouvons simplifier en annulant le facteur $(x - 3)$ au numérateur et au dénominateur (car $x \neq 3$) :
\[\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 6)\]
Maintenant, en évaluant la limite pour $x = 3$, nous obtenons :
\[\lim_{x \to 3} g(x) = 3^2 - 5 \times 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\]
D'où : $\lim_{x \to 3} g(x) = 0$.

Maintenant, évaluons la valeur de $g$ au point $x = 3$ :
\[g(3) = 0\]
Nous constatons que la limite de $g$ en $x = 3$ est $0$ et que $g(3) = 0$.

Puisque la limite et la valeur de la fonction au point sont égales, la fonction $g$ est continue au point $x_0 = 3$.
Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par :
\[h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x}}{x - \sqrt{x}} & \text{si } x \neq 1 \\ k & \text{si } x = 1 \quad (k \in \mathbb{R}) \end{cases}\]
Déterminons la valeur de $k$ pour que la fonction $h$ soit continue en $x = 1$ :

Soit $x$ un élément de l'intervalle $]0 ; +\infty[$ distinct de $1$.

On a :
\[h(x) = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{2x})(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})(x + \sqrt{x})}{(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})}\] \[= \frac{(x^2 + 1 - 2x)(x + \sqrt{x})}{(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})(x^2 - x)}\]
Par conséquent :
\[h(x) = \frac{(x - 1)(x + \sqrt{x})}{x(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})}\]
Il s'ensuit donc que :
\[\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + \sqrt{x})}{x(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})} = \frac{0 \times (1 + 1)}{1 \times (\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{0}{2\sqrt{2}} = 0\]
Pour que la fonction $h$ soit continue en $x = 1$, il faut et il suffit que $\lim_{x \to 1} h(x) = h(1)$, c'est-à-dire : $k = 0$.

Continuité à droite - Continuité à gauche

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0,x_0+\alpha[$ où $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$. On dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si : \[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0) \]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]x_0-\alpha,x_0]$ où $\alpha\in\mathbb{R}_+^*$. On dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si : \[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0) \]

Propriété

Une fonction numérique $f$ est continue au point $x_0$ si, et seulement si, elle est continue à droite et à gauche au point $x_0$.

En d'autres termes :

$$ \bigl(f\text{ est continue au point }x_0\bigr) \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0) $$

Exemple

Soit f définie sur ℝ par : \[ f(x)= \begin{cases} x^2 & \text{si } x\leq 0,\\ 2+x & \text{si } x>0. \end{cases} \]
Étudions la continuité de f en x₀ = 0. On a :
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}x^2 = 0 = f(0). \]
Donc f est continue à gauche en x₀ = 0. Et on a :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(2+x) = 2 \neq f(0). \]
Donc f n'est pas continue à droite en 0.

Puisque :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) \neq \lim_{x\to 0^-}f(x), \]
alors f est discontinue en 0.
Soit g la fonction numérique définie par : \[ g(x)= \begin{cases} 3x & \text{si } x\leq 1,\\ \dfrac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x>1. \end{cases} \]
Étudions la continuité à droite et à gauche de la fonction g au point x₀ = 1.

On a g(1) = 3 et de plus :
\[ \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}g(x) = \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}} \frac{x^2-4}{x-2} = 3 = g(1). \]
Donc g est continue à droite en 1.

De même :
\[ \lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}g(x) = \lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}(3x) = 3 = g(1). \]
Donc g est continue à gauche en 1.

Conclusion : g est continue à droite et à gauche en 1, donc g est continue en 1.
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{si } x>0,\\ \dfrac{\cos x+\sin x-1}{4x} & \text{si } x<0,\\ \dfrac{1}{4} & \text{si } x=0. \end{cases} \]
Montrons que la fonction f est continue en 0.

Continuité à droite en 0 . On a :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)} {x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}. \]
Donc :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4}. \]
Puisque $\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$, alors la fonction f est continue à droite en 0.

Continuité à gauche en 0. On a :
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{\cos x+\sin x-1}{4x} = \lim_{x\to 0^-} \left( \frac{\sin x}{4x} - \frac{1-\cos x}{4x} \right) \] \[ = \lim_{x\to 0^-} \left( \frac{1}{4}\frac{\sin x}{x} - \frac{1-\cos x}{x^2}\frac{x}{4} \right). \]
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \frac{1}{4}\times 1 - \frac{1}{2}\times\frac{0}{4} = \frac{1}{4}. \]
Puisque $\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)$, alors f est continue à gauche en 0.

Puisque la fonction f est continue à droite et à gauche en 0, alors elle est continue en ce point.

Application

Soit f et g deux fonctions définies par :

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-9}{x-3} & \text{si } x\neq 3,\\ 6 & \text{si } x=3, \end{cases} \qquad g(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1} & \text{si } x\neq 1,\\ 3 & \text{si } x=1. \end{cases} $$

Montrer que la fonction f est continue en 3.
Est-ce que la fonction g est continue en 1 ? Justifier la réponse.

Application

Soit g la fonction définie par :

$$ g(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} & \text{si } x>2,\\ \dfrac{x^2-4x+3}{x-3} & \text{si } x\leq 2. \end{cases} $$

Calculer g(2).
Étudier la continuité de g au point x₀ = 2.

Continuité d'une fonction sur un intervalle

Définition

Une fonction f est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout point de I. En particulier, f est continue sur ]a ; b[ si elle est continue en tout point de ]a ; b[.
Une fonction f est continue sur [a ; b] si elle est continue sur ]a ; b[ et continue à droite en a et à gauche en b.
Une fonction f est continue sur [a ; b[ si elle est continue sur ]a ; b[ et continue à droite en a.
Une fonction f est continue sur ]a ; b] si elle est continue sur ]a ; b[ et continue à gauche en b.

Remarque

Intuitivement, dire que la fonction numérique f est continue signifie qu'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Exemple

Toute fonction constante est continue sur ℝ.
Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.
Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
La fonction x ↦ √x est continue sur ℝ⁺.
Les fonctions x ↦ sin(x) et x ↦ cos(x) sont continues sur ℝ.
La fonction x ↦ tan(x) est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

Fonction partie entière $E(x)$

Définition

Soit x un nombre réel et n un entier relatif.

La partie entière de x est le plus grand entier relatif n qui est inférieur ou égal à x. On la note : E(x).

Autrement dit : E(x) = n, c'est-à-dire n ≤ x < n + 1.

Exemple

E(4,2) = 4
E(−3,75) = −4
E(√3) = 1
$E\left(-\dfrac{9}{4}\right)=-3$
E(π) = 3
E(−0,1457) = −1
$E(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3$
E(−1) = −1
E(0) = 0
$E\left(\dfrac{7}{2}\right)=3$

Courbe de la fonction E(x)

Propriété

Pour tout x ∈ ℝ : E(x) ≤ x < E(x) + 1 et x − 1 < E(x) ≤ x.
Pour tout x ∈ ℝ : E(x) = x ⇔ x ∈ ℤ.
Pour tout x ∈ ℝ et pour tout p ∈ ℤ : E(x + p) = E(x) + p.
Pour tout n ∈ ℤ, la fonction partie entière est continue à droite en n et discontinue à gauche en n.
La fonction partie entière est continue sur tout intervalle du type [n ; n + 1[ où n ∈ ℤ.
La fonction partie entière n'est pas continue sur ℝ.

Opérations sur les fonctions continues

Propriété

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un nombre réel. On a :

Les fonctions f + g, k · f et f · g sont continues sur I.
Pour tout n ∈ ℕ^*, la fonction fⁿ : x ↦ (f(x))ⁿ est continue sur I.
Si la fonction g ne s'annule pas sur I, alors 1/g et f/g sont continues sur I.
La fonction |f| est continue sur I.
Si la fonction f est positive sur I, alors √f est continue sur I.

Exemple

Soit la fonction g définie par g(x) = x³ − 2x² + sin(x).

Montrons que la fonction g est continue sur ℝ.

La fonction x ↦ x³ − 2x² est une fonction polynôme, et les fonctions polynômes sont des fonctions continues sur ℝ. De plus, la fonction x ↦ sin(x) est une fonction trigonométrique continue sur ℝ.

Puisque la somme de deux fonctions continues est également continue, alors la fonction g(x) = x³ − 2x² + sin(x) est continue sur ℝ.
La fonction g définie par g(x) = √x(x² + 4x − 5) est continue sur ℝ⁺ en tant que produit de deux fonctions continues sur ℝ⁺, qui sont x ↦ √x et x ↦ x² + 4x − 5.
On considère la fonction f définie par :

\[ f(x)=\frac{x^3-4x^2+5}{3|x-2|+1}. \]

Étudions la continuité de f sur son ensemble de définition D_f.

Puisque 3|x − 2| + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ, on a D_f = ℝ.

Soient p et q les deux fonctions définies sur ℝ par : p(x) = x³ − 4x² + 5 et q(x) = 3|x − 2| + 1.

La fonction p est continue sur ℝ car c'est une fonction polynôme.

La fonction q est continue sur ℝ en tant que somme de deux fonctions continues sur ℝ.

De plus, la fonction q ne s'annule pas sur ℝ. Par suite, la fonction f est continue sur ℝ en tant que quotient de deux fonctions continues, dont le dénominateur ne s'annule pas.
On considère la fonction numérique définie sur ℝ par :

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+2x-\dfrac{5}{2}, & x\leq -3,\\[4pt] \dfrac{\sqrt{2x+10}-2}{x+3}, & x>-3. \end{cases} \]

Montrons que la fonction f est continue sur ℝ.

— Continuité de la fonction f au point x₀ = −3 :

On a : f(−3) = (−3)² + 2(−3) − 5/2 = 1/2.

Calculons maintenant les limites à gauche et à droite en −3 :

\[ \lim_{\substack{x\to -3\\x<-3}}f(x) = \lim_{\substack{x\to -3\\x<-3}} \left(x^2+2x-\frac52\right) = \frac12. \]

\[ \begin{aligned} \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}}f(x) &= \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}} \frac{\sqrt{2x+10}-2}{x+3}\\ &= \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}} \frac{2(x+3)} {(x+3)(\sqrt{2x+10}+2)}\\ &= \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}} \frac{2}{\sqrt{2x+10}+2} = \frac12. \end{aligned} \]

Puisque \[ \lim_{\substack{x\to -3\\x<-3}}f(x) = \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}}f(x) = f(-3), \] alors la fonction f est continue au point x₀ = −3.

— Continuité de la fonction f sur ℝ :

La fonction f est continue sur l'intervalle ]−∞ ; −3[ (restriction d'une fonction polynôme).

La fonction x ↦ 2x + 10 est continue et positive sur l'intervalle ]−3 ; +∞[. Donc la fonction numérique x ↦ √(2x + 10) − 2 est continue sur cet intervalle.

La fonction x ↦ x + 3 est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle ]−3 ; +∞[.

La fonction f est donc continue sur l'intervalle ]−3 ; +∞[ en tant que quotient de deux fonctions continues sur cet intervalle.

Comme f est continue en −3 et sur chacun des intervalles ]−∞ ; −3[ et ]−3 ; +∞[, alors elle est continue sur ℝ tout entier.
Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle [−2 ; 1[ par : f(x) = xE(x) + 1.

a) Expression de f(x) sur chacun des intervalles :
1. Sur l'intervalle [−2 ; −1[, la partie entière de x est −2. Donc E(x) = −2 et : f(x) = −2x + 1.
2. Sur l'intervalle [−1 ; 0[, la partie entière de x est −1. Donc E(x) = −1 et : f(x) = −x + 1.
3. Sur l'intervalle [0 ; 1[, la partie entière de x est 0. Donc E(x) = 0 et : f(x) = 1.
b) Construction de la courbe C_f :

Pour construire la courbe C_f, traçons les points clés et les segments correspondant à chaque expression de f(x).
1. Sur [−2 ; −1[, la fonction est f(x) = −2x + 1. Le segment va du point (−2 ; 5) vers le point (−1 ; 3), ce dernier étant exclu.
2. Sur [−1 ; 0[, la fonction est f(x) = −x + 1. Le segment va du point (−1 ; 2) vers le point (0 ; 1), ce dernier étant exclu.
3. Sur [0 ; 1[, la fonction est f(x) = 1. Il s'agit d'une portion de droite horizontale passant par le point (0 ; 1).
La courbe C_f est donc constituée de trois portions de droites :
1. une portion de droite allant de (−2 ; 5) vers (−1 ; 3) ;
2. une portion de droite allant de (−1 ; 2) vers (0 ; 1) ;
3. une portion de droite horizontale passant par (0 ; 1).
La fonction f n'est pas continue sur l'intervalle [−2 ; 1[ car elle présente un saut en −1, où la fonction passe brusquement d'une expression à une autre sans former une courbe continue.

courbe de la fonction xE(x)+1 sur [-2;1[

Continuité de la composée de deux fonctions

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I) ⊂ J, et soit x₀ un élément de I.

Si f est continue au point x₀ et g est continue au point f(x₀), alors la fonction g ∘ f est continue en x₀.
Si f est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que f(I) ⊂ J, alors la fonction g ∘ f est continue sur l'intervalle I.

Exemple

Soit f la fonction numérique définie par : f(x) = cos(sin(x)).

Montrons que la fonction f est continue sur ℝ.

Puisque les fonctions f₁ : x ↦ sin(x) et f₂ : x ↦ cos(x) sont continues sur ℝ et que f₁(ℝ) ⊂ ℝ, alors la fonction f = f₂ ∘ f₁ est continue sur ℝ.
Soit f la fonction numérique définie par : f(x) = √(x² + 2x + 1).

Montrons que la fonction f est continue sur ℝ.

La fonction f₁ : x ↦ x² + 2x + 1 est continue sur ℝ et la fonction f₂ : x ↦ √x est continue sur ℝ⁺.

De plus, pour tout x ∈ ℝ, x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0. Ainsi, f₁(ℝ) ⊂ ℝ⁺.

Alors la fonction f = f₂ ∘ f₁ est continue sur ℝ.

Résultats

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle I, alors la fonction √f est continue sur I.
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors la fonction cos(f) est continue sur I.
Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors la fonction sin(f) est continue sur I.

Image d'un intervalle par une fonction continue

Propriété

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Autrement dit :

Si la fonction f est continue sur [a ; b], alors f([a ; b]) = [m ; M], avec M la valeur maximale et m la valeur minimale de f sur [a ; b].

D'après la figure ci-dessus, on a :

f([−2 ; −1]) = [0,5 ; 5]
f([−2 ; 0]) = [−2 ; 5]
f([0 ; 2]) = [−2,6 ; −1]
f([−1 ; 0]) = [−2 ; 0,5]
f([2 ; 3]) = [−1 ; 2,6]
f([3 ; 4]) = [2,6 ; 8]

Remarque

La continuité d'une fonction est une condition suffisante pour que l'image d'un intervalle soit un intervalle, mais cette condition n'est évidemment pas nécessaire.

En effet, il se peut que l'image d'un intervalle par une fonction discontinue soit un intervalle, comme le montre l'exemple suivant.

Considérons la fonction f définie sur [−1 ; 3] par :

\[ f(x)= \begin{cases} 3x & \text{si } x\in[-1;1],\\ -x+1 & \text{si } x\in]1;3]. \end{cases} \]

L'image de l'intervalle [−1 ; 2] par la fonction f est l'intervalle [−3 ; 3], bien que la fonction f ne soit pas continue sur [−1 ; 2].

Les intervalles I et f(I) ne sont pas toujours de même nature. À titre d'exemple, l'image de l'intervalle semi-ouvert ]−2 ; 3] par la fonction x ↦ x² est le segment [0 ; 9].

Continuité d'une fonction numérique